【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求證:當(dāng)x∈(1,)時,f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且僅有1個極值點(diǎn),求a的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2)(0,1).
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣(2x﹣1),對其求導(dǎo)研究其在x單調(diào)性,即可證明結(jié)論;
(2)先對f(x)求導(dǎo),然后把f(x)在(0,2π)上有且僅有1個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題,利用y(a>0)與函數(shù)y=cosx,x∈(0,)的圖象只有一個交點(diǎn)求出a的取值范圍即可.
解:(1)證明:當(dāng)a=1時,f(x)=lnx﹣sinx+x,令g(x)=f(x)﹣(2x﹣1)=lnx﹣sinx﹣x+1,x,
則,∴g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,
故g(x)<g(1)=﹣sin1<0,所以f(x)<2x﹣1;
(2)解:由題知,令,所以.
∵在(0,2π)上有且僅有1個極值點(diǎn),
∴函數(shù)y(a>0)與函數(shù)y=cosx,x∈(0,)的圖象只有一個交點(diǎn),
∴,即,
所以a的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列選項中說法正確的是( )
A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;
B.命題“”的否定是“”;
C.在三角形中,“若,則”的逆否命題是真命題
D.冪函數(shù)過點(diǎn),則.
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【題目】平面向量,共線的充要條件是( )
A.
B.,兩向量中至少有一個為零向量
C.λ∈R,
D.存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,﹣1),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,線段PQ的中點(diǎn)為M,點(diǎn)B(1,0),求證:點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]
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【題目】如圖,在三棱錐中,、、分別為棱、、的中點(diǎn),平面,,,,則( )
A.三棱錐的體積為
B.直線與直線垂直
C.平面截三棱錐所得的截面面積為
D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.
(1)求a;
(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;
(3)設(shè),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前項中的最大項為,該數(shù)列后項,, …..,中的最小項為,.
(1)對于數(shù)列:3,4,7,1,求出相應(yīng)的,,;
(2)是數(shù)列的前項和,若對任意,有,其中且,
①設(shè),判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列;
②若數(shù)列對應(yīng)的滿足:對任意的正整數(shù)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會,某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調(diào)研和科學(xué)研判,準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件,目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨(dú)立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機(jī)抽取400件,對其核心部件的尺寸x,進(jìn)行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.
根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x﹣12|≤1為一級品,1<|x﹣12|≤2為二級品,|x﹣12|>2為三級品.
(Ⅰ)現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品,再從所抽取的40件產(chǎn)品中,抽取2件尺寸x∈[12,15]的產(chǎn)品,記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14,15]的產(chǎn)品個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時,需要進(jìn)行檢驗.已知每箱有100件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為50元.檢驗規(guī)定:若檢驗出三級品需更換為一級或二級品;若不檢驗,讓三級品進(jìn)入買家,廠家需向買家每件支付200元補(bǔ)償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了10件,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率,以廠家支付費(fèi)用作為決策依據(jù),問是否對該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗?請說明理由;
(Ⅲ)為加大升級力度,廠家需增購設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤如下:一級品的利潤為500元/件;二級品的利潤為400元/件;三級品的利潤為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級品的概率分別是,,.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤作為決策依據(jù).應(yīng)選購哪種設(shè)備?請說明理由.
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