Question

5．如圖，在四棱錐A-BCDE中，AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，點F為矩形BCDE的對角線的交點，G是AE的中點，平面BCDE⊥平面ABC．
（1）求證：GF⊥平面ABE；
（2）若BC=4，四棱錐A-BCDE的體積為16，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BE⊥面ABC，取BE中點K，連接FK，GK，可證面KFG∥面ABC，從而得到BE⊥面KFG，即FG⊥BE，再由線段AF=FE，G為AE中點得FG⊥AE，然后利用線面垂直的判斷得GF⊥平面ABE；
（2）設(shè)CD=x，直接由${V}_{A-BCDE}=\frac{1}{3}•4x•2=16$求解x得CD的長．

解答 （1）證明：如圖，
∵平面BCDE⊥平面ABC，且BCDE為矩形，
∴BE⊥面ABC，取BE中點K，連接FK，GK，
∵F為EC的中點，G為AE的中點，
∴KF∥BC，KG∥AB，從而證得面KFG∥面ABC，
∴BE⊥面KFG，則FG⊥BE，
取BC中點H，設(shè)BC=$\sqrt{2}a$，則AB=AC=a，
∴三角形BAC為Rt三角形，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
再設(shè)BE=b，則$AF=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{^{2}}{4}}$，EF=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{^{2}}{4}}$，
∴AF=FE，
又G為AE中點，
∴FG⊥AE，
又AE∩BE=E，
∴GF⊥平面ABE；
（2）解：∵BC=4，
∴AH=$\frac{1}{2}BC=2$，
設(shè)CD=x，
則${V}_{A-BCDE}=\frac{1}{3}•4x•2=16$，即x=6．
∴CD的長為6．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．