Question

13．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，∠ABC=∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC．　
（2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．
（3）若三棱錐P-ABC的體積為4$\sqrt{3}$，求側(cè)棱PC的長．

Answer 1

分析 （1）在平面PAC內(nèi)找到并且證明兩條相交直線分別與已知直線垂直，即可得到線面垂直．
（2）根據(jù)二面角的定義作出二面角，并且證明此角是所求角，然后結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求解答案．
（3）利用三棱錐P-ABC的體積為4$\sqrt{3}$，AB⊥平面PAC，表示出體積，即可求側(cè)棱PC的長．

解答 （1）證明：在△ABC中因為AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{3}$，
所以根據(jù)勾可得∠BAC=90°即AB⊥AC．
又因為AB⊥PC，PC∩AC=C，PC?平面ACP，AC?平面ACP，
所以AB⊥平面PAC．
（2）解：過點A作AD⊥PC，交PC與點D，連接BD．
因為AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，
所以PC⊥AB．
又因為AD⊥PC，AD?平面ABD，AD?平面ABD，AD∩AB=A，
所以PC⊥平面ABD，所以PC⊥BD．
所以∠BDA是二面角A-PC-B的平面角，即∠BDA=θ．
在△ADC中，AC=2，∠ACD=30°，∠ADC=90°，所以AD=1．
在△ABD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=1，
所以tanθ=$\frac{AB}{AD}$=2$\sqrt{3}$；
（3）解：因為三棱錐P-ABC的體積為4$\sqrt{3}$，AB⊥平面PAC，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×PC×sin30°×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
所以PC=12．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用題中線面關(guān)系證明線面垂直并且有利于求解二面角的平面角．