Question

19．電視臺(tái)與某廣告公司簽約播放兩部影片集，其中影片集甲每集播放時(shí)間為19分鐘（不含廣告時(shí)間，下同），廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為60萬(wàn)；影片集乙每集播放時(shí)間為7分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬(wàn)，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于80分鐘的節(jié)目時(shí)間（含廣告時(shí)間）．
（Ⅰ）問電視臺(tái)每周應(yīng)播放兩部影片集各多少集，才能使收視觀眾最多；
（Ⅱ）在獲得最多收視觀眾的情況下，影片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來(lái)a和b（萬(wàn)元）的效益，若廣告公司本周共獲得3萬(wàn)元的效益，記S=$\frac{8}{a}$+$\frac{5}$為效益調(diào)和指數(shù)（單位：萬(wàn)元），求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)片集甲、乙分別播放x，y集，則有$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，要使收視觀眾最多，則只要z=60x+20y最大即可．
（2）由題意得：2a+5b=3，則$\frac{1}{3}$（2a+5b）=1，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)片集甲乙分別播放x，y集，由題意得到$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，要使收視觀眾最多，只要z=60x+20y最大即可，
作出可行域，如圖
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{20x+8y=80}\end{array}\right.$解得A（$\frac{8}{3}，\frac{10}{3}$），所以滿足題意的最優(yōu)解為（2，5），
z_max=60×2+20×5=220，故電視臺(tái)每周片集甲播出2集，片集乙每周播出5集，其收視觀眾最多；
（Ⅱ）由題意得：2a+5b=3，則
S=$\frac{8}{a}+\frac{5}=\frac{1}{3}（2a+5b）（\frac{8}{a}+\frac{5}）$=$\frac{1}{3}（41+\frac{40b}{a}+\frac{10a}）$≥27，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)，所以效益調(diào)和指數(shù)的最小值為27萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，考查基本不等式的運(yùn)用，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．