Question

【題目】設(shè)f（x）= （a∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（x+1）f（x）﹣b（x﹣1）在[1，e]上有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)b取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

∵y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，

∴f′（1）= ，

∴ = ，∴1+a=1，解得a=0．

f（x）= ，

若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，

即lnx≤m（x﹣ ），

設(shè)g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），

即對于任意的x∈[1，+∞），g（x）≤0，

g′（x）= ﹣m（1+ ）= ，

①若m≤0，g′（x）＞0，則g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾．

②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2，

當(dāng)△≤0，即m≥ 時，g′（x）≤0．

∴g（x）在（1，+∞）上單減，

∴g（x）≤g（1）=0，不等式成立．

當(dāng)0＜m＜ 時，方程﹣mx2+x﹣m=0，設(shè)兩根為x1，x2，（x1＜x2），

x1= ∈（0，1），x2= ∈（1，+∞），

當(dāng)x∈（1，x1），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾，

綜上所述，m≥

（2）解：因為g（x）=xlnx﹣b（x﹣1），注意到g（1）=0

所以，所求問題等價于函數(shù)g（x）=xlnx﹣b（x﹣1）在（1，e]上沒有零點(diǎn)．

因為g′（x）=lnx+1﹣b，

所以由g′（x）＜0lnx+1﹣b＜00＜x＜eb﹣1，

g′（x）＞0x＞eb﹣1

所以g（x）在（0，eb﹣1）上單調(diào)遞減，在（eb﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．

①當(dāng)eb﹣1≤1，即b≤1時，g（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（1）=0

此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點(diǎn)，

②當(dāng)1＜eb﹣1＜e，即1＜b＜2時，g（x）在[1，eb﹣1）上單調(diào)遞減，在（eb﹣1，e]上單調(diào)遞增．

又因為g（1）=0，g（e）=e﹣be+b，g（x）在（1，e]上的最小值為g（eb﹣1）=b﹣eb﹣1

所以，（i）當(dāng)1＜b≤ 時，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，

即此時函數(shù)g（x）在（1，e]上有零點(diǎn)．

（ii）當(dāng) ＜b＜2時，g（e）＜0，即此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點(diǎn)．

③當(dāng)e≤eb﹣1 即b≥2時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，

所以g（x）在[1，e]上滿足g（x）＜g（1）=0，

此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點(diǎn)

綜上，所求的a的取值范圍是b≤1或 ＜b

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．求a的值；將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）在（1，e]上沒有零點(diǎn)，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．