【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,為棱的中點(diǎn),,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)由四邊形為矩形,可得,再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面,進(jìn)一步得到,再由,利用線面垂直的判定定理可得面,即可證得平面;
(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由題得,解得. 進(jìn)而求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.
詳解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)設(shè)BC中點(diǎn)為,連接,
,又面 面,且面 面 ,
所以面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥,設(shè),
可得
所以由題得,解得.
所以
設(shè)是平面的法向量,則,即,
可取.
設(shè)是平面的法向量,則,即,
可取.
則,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線過原點(diǎn),傾斜角為,圓的圓心為,半徑為2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別寫出直線和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)為極軸與圓的交點(diǎn)(異于極點(diǎn)),點(diǎn)為直線與圓在第二象限的交點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在處的切線交軸于點(diǎn).
(1)求的值;
(2)若對于內(nèi)的任意兩個數(shù),,當(dāng)時,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯誤的是
A. , f()=0
B. 函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
C. 若是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,)單調(diào)遞減
D. 若是f(x)的極值點(diǎn),則()=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在上的最值;
(3)當(dāng)時,若函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對任意及任意,恒有成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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