Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，則

a2

b+1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：利用直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切可得|a+b+1|=2，即b=1-a，從而可得0＜a＜1，0＜b＜1，

a2

b+1

=

a2

2-a

，構(gòu)造函數(shù)f（a）=

a2

2-a

，（0＜a＜1），借助導(dǎo)數(shù)即可求出f（a） 的范圍，即

a2

b+1

的取值范圍．

解答： 解：∵直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴圓心到直線的距離d=

|b+1+a|

2

=r=

2

，
即|a+b+1|=2，
∴a+b=1，或a+b=-3
∵a，b為正實(shí)數(shù)
∴a+b=-3（舍去），
即b=1-a，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，

a2

b+1

=

a2

2-a

，
可令f（a）=

a2

2-a

，（0＜a＜1），
則f′(a)=

2a(2-a)+a2

(2-a)2

=

2a-a2

(2-a)2

，
∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)，2a-a²＞0，即f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴0＜f（a）＜1，
即

a2

b+1

的取值范圍是（0，1）．
故答案為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系、不等式的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于難題．