Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
①值域為（-1，1），且當x＞0時，-1＜f（x）＜0；
②對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)x、y，均滿足：f（x+y）=

f(x)+f(y)

1+f(x)f(y)

（1）試求f（0）的值；
（2）已知函數(shù)g（x）的定義域為（-1，1），且滿足條件g[f（x）]=x對任意x∈R恒成立，求g（

1

2

）+g（-

1

2

）；
（3）證明：g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）＞g（

1

2

）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令x=y=0，可求出f（0）的值；
（2）利用反函數(shù)的性質(zhì)得到，g（x）與f（x）互為反函數(shù)，繼而得到利用賦值法研究函數(shù)g（x）的性質(zhì)，令x=y=0得，g（0）=0，再令y=-x，得g（-x）=-g（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)根據(jù)條件，問題得以解決；
（3）由g（

1

n2+3n+1

）=g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）則依次規(guī)律，然后利用列項法將左邊化簡，最后利用單調(diào)性解決問題．

解答： 解：（1）由x=y=0得f（0）=

f(0)+f(0)

1+f(0)f(0)

，
∴f（0）=0，或f（0）=-1，或f（0）=1，
∵值域為（-1，1），
∴f（0）=0，
（2）∵g（x）的定義域為（-1，1），且滿足條件g[f（x）]=x，f（x+y）=

f(x)+f(y)

1+f(x)f(y)

∴g[f（x+y）]=x+y，
∴g（x）+g（y）=g（

x+y

1+xy

），
令x=y=0，則g（0）=0，
同理，令y=-x，得g（-x）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
∴g（

1

2

）+g（-

1

2

）=g（

1

2

）-g（

1

2

）=0，
（3）∵g（x）+g（y）=g（

x+y

1+xy

），
∴g（

1

n2+3n+1

）=g（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）
∴g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）=g（

1

2

）-g（

1

3

）+g（

1

3

）-g（

1

4

）+…+g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）
=g（

1

2

）-g（

1

n+2

），
∵0＜

1

n+2

＜1，
∴-1＜-

1

n+2

＜0，
∵當x＞0時，-1＜f（x）＜0；
∴-g（

1

n+2

）=g（-

1

n+2

）＞0，
∴g（

1

2

）-g（

1

n+2

）＞g（

1

2

），
∴g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）＞g（

1

2

）．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及反函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性的，放縮法，裂屬于難題．