Question

11．在△ABC中，若$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，則$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=（　　）

• A． -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的三角形法則和向量垂直的條件，以及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，計(jì)算即可得到．

解答 解：由于$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|，
兩邊平方可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即有$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
由勾股定理得|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+3}$=2，
則$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{-|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠ABC}{|\overrightarrow{BC}|}$
=-|$\overrightarrow{AB}$|cos∠ABC=-1×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查向量的三角形法則和向量垂直的條件，同時考查向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．