Question

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預(yù)估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，隨機抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數(shù)	16	16	14	14	8

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；

（2）從抽取的20名學(xué)生中再隨機抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預(yù)估難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

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【答案】（1）96人（2）見解析，（3）該次測試的難度預(yù)估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答對第5題的人數(shù)為8人，求出實測難度，再估計240人中實測答對人數(shù)；(2)由X的可能取值分別求出相應(yīng)的概率，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實測難度作為240名學(xué)生第i題的實測難度，由題設(shè)條件推出該次測試的難度預(yù)估是否合理.

（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實測難度為.

所以，估計240人中有人實測答對第5題.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列為：

	0	1	2

.

（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為240名學(xué)生第題的實測難度.則

.

因為，

所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的.

Answer 1

【答案】（1）96人（2）見解析，（3）該次測試的難度預(yù)估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答對第5題的人數(shù)為8人，求出實測難度，再估計240人中實測答對人數(shù)；(2)由X的可能取值分別求出相應(yīng)的概率，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實測難度作為240名學(xué)生第i題的實測難度，由題設(shè)條件推出該次測試的難度預(yù)估是否合理.

（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實測難度為.

所以，估計240人中有人實測答對第5題.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列為：