Question

4．已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點，E是邊AC上任一點，連接DE，F是線段DE上一點，連接BF，設$\frac{DF}{DE}={λ_1}$，$\frac{AE}{AC}={λ}_{2}$，且${λ_1}+{λ_2}=\frac{1}{2}$，記△BDF的面積為S=f （λ₁，λ₂），則S的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{25}$
• C． $\frac{1}{30}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 由三角形的面積以及邊的比得到小三角形的面積，最終得到答案．

解答 解：∵△ABC的面積為1，
∵$\frac{AE}{AC}={λ}_{2}$，
∴△ABE的面積為λ₂，
∵D是邊AB的中點，
∴△BDE的面積是$\frac{{λ}_{2}}{2}$，
∵$\frac{DF}{DE}={λ_1}$，且${λ_1}+{λ_2}=\frac{1}{2}$，
∴△BDF的面積為$\frac{1}{2}{λ}_{1}{λ}_{2}$≤$\frac{1}{2}（\frac{{λ}_{1}+{λ}_{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{32}$
當且僅當λ₁=λ₂時，取得最大值．
故本題答案為：$\frac{1}{32}$

點評 本題考查數形結合以及基本不等式．