Question

15．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在雙曲線E上，△ABM為等腰三角形，其中一角為30°，則雙曲線E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，過點M作MN⊥x軸，得到Rt△BNM，通過求解直角三角形得到M坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得a與b的關(guān)系，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
若，△ABM為等腰三角形，其中一角為30°，
則只能是|AB|=|BM|，∠BAM=30°，
過點M作MN⊥x軸，垂足為N，則∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故點M的坐標(biāo)為M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即為a²=b²，即c²=2a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)條件結(jié)合三角形的邊角公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．注意運用點滿足雙曲線的方程，考查運算能力，是中檔題．