Question

對于圓錐曲線，給出以下結(jié)論：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點(diǎn)P的軌跡為圓；
③方程4x²-12x+5=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點(diǎn)．
⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點(diǎn)M有4個(gè)（其中F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的焦點(diǎn)）．
其中正確結(jié)論的序號為

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①不正確．若動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；②設(shè)出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點(diǎn)P的軌跡為圓（除去A點(diǎn)）；③求出方程的兩根即可得到答案；④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點(diǎn)（±5，0）；⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點(diǎn)M有2個(gè)（0，±1）．

解答： 解：①不正確．若動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線；
對于②，設(shè)定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點(diǎn)A（m，n），P（x，y），由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可知P為AB的中點(diǎn)，則B（2x-m，2y-n），因?yàn)锳B為圓的動弦，所以B在已知圓上，把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當(dāng)B與A重合時(shí)AB不是弦，所以點(diǎn)A除外，所以②不正確；
因?yàn)?x²-12x+5=0的兩根是1.25，0.5，橢圓的離心率范圍是（0，1），雙曲線的離心率范圍是（1，+∞），所以③正確；
④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點(diǎn)（±5，0），正確；
⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點(diǎn)M有2個(gè)（0，±1）（其中F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的焦點(diǎn)），不正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時(shí)考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查的知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．