Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2AD=4，BD=2

3

，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-D大小為

π

4

，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BC⊥BD，PD⊥BC，從而得到BC⊥平面PBD，由此能證明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，從而得到∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AP與平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵CD²=BC²+BD²．∴BC⊥BD．
又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．
又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．
而BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，
所以∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=

π

4

．
而BD=2

3

，所以PD=2

3

．
∵底面ABCD為平行四邊形，∴DA⊥DB，
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
則A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C(-2，2

3

，0)，P(0，0，2

3

)，
所以，

AP

=(-2，0，2

3

)，

BC

=(-2，0，0)，

BP

=(0，-2

3

，2

3

)，
設平面PBC的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

n • BC =0 n • BP =0

即

-2a=0 -2 3 b+2 3 c=0.

令b=1則

n

=(0 ， 1  ，1)，
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為：
sinθ=

| AP • n |

| AP || n |

=

2 3

4× 2

=

6

4

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．