Question

20．某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”．為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分100分）作為樣本（樣本容量為療）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（Ⅰ）求樣本容量月和頻率分布直方圖中x，y的值；
（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成績分組的學生按分層抽樣的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成績分組中各應該抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）在（II）中的8人中隨機抽取4名同學到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動，記X為成績在[60，70）的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關系能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值．
（Ⅱ）利用分層抽樣，可得分組中各應該抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，樣本容量n=$\frac{8}{0.016×10}$=50，y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030…（3分）
（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成績分組的學生分別為15人，20人，5人，
現(xiàn)要按分層抽樣抽取8人，則在[60，70），[70，80），[80，90）成績分組中各抽取3人，4人，1人…（6分）
（Ⅲ）X=0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

…（10分）．
∴EX=0×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{3}{7}$+3×$\frac{1}{14}$=$\frac{3}{2}$…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查隨機變量X的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題．