Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos²x，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$cosx），設(shè)函數(shù)g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，把g（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移$\frac{5π}{12}$個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，已知函數(shù)f（x）最小正零點(diǎn)為A，△ABC的面積S=5$\sqrt{3}$，b=5，求邊長a的值．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步通過三角函數(shù)的圖象變換得出結(jié)果．
（2）利用上步求出的函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的零點(diǎn)求出A的值，進(jìn)一步利用三角形的面積和余弦定理求出結(jié)果．

解答 解：（1）已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos²x，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$cosx），設(shè)函數(shù)g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
則：g（x）=$2{cos}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$
所以：把g（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移$\frac{5π}{12}$個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
得到函數(shù)f（x）=$2sin[2（x-\frac{5}{12}π）+\frac{π}{6}]+1-1$
=2$sin（2x-\frac{2}{3}π）$
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，已知函數(shù)f（x）最小正零點(diǎn)為A，
則：$f（A）=2sin（2A-\frac{2}{3}π）=0$
由于：0＜A＜π，
解得：A=$\frac{π}{3}$．
由于△ABC的面積S=5$\sqrt{3}$，b=5
所以：S=$\frac{1}{2}bcsinA=5\sqrt{3}$，
解得：c=4．
所以：a²=b²+c²-2bccosA
解得：a=$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換，正弦型函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，三角形面積及余弦定理的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．