Question

2．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為$y=\sqrt{3}x$，右焦點(diǎn)F（4，0），左右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，P為雙曲線上一點(diǎn)（不同于A₁，A₂），直線A₁P，A₂P分別與直線x=1交于M，N兩點(diǎn)；
（1）求雙曲線的方程；
（2）求證：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$為定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）利用焦距，離心率，列出方程組，求解即可．
（2）設(shè)出P，求出MN，然后求解數(shù)量積推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}c=4\\ \frac{a}=\sqrt{3}\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.⇒\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
（2）$設(shè)P（{x_0}，{y_0}），{A_1}P：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2），{A_2}P：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，
所以$M（1，\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}+2}}），N（1，\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
所以$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=（-3，\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}+2}}）•（-3，\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}）=9-\frac{{3{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=9-\frac{{3{y_0}^2}}{{\frac{{{y_0}^2}}{3}}}=0$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．