Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x（a≠0）$，若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． $[\frac{1}{3}，1]$
• C． $[\frac{1}{3}，+∞）$
• D． （0，1]

Answer 1

分析 求出函數(shù)$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，在[0，2]上的值域?yàn)閇b，c]，再求導(dǎo)g′（x）=ax²-a²，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化為最值問題．

解答 解：根據(jù)所給條件，函數(shù)$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，在[0，2]上的值域[b，c]，
$f（x）=\frac{4x}{3{x}^{2}+3}=\frac{4}{3x+\frac{3}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{3x•\frac{3}{x}}}$=$\frac{2}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；x=0時(shí)，f（0）=0，x=2時(shí)，f（2）=$\frac{8}{15}$
則有b=0且c=$\frac{2}{3}$；函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，$\frac{2}{3}$]．則y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]
函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x（a≠0）$，
則g′（x）=ax²-a²=0，a＞0時(shí)，解得x=$\sqrt{a}$．
當(dāng)4＞a＞0時(shí)，g′（x）＞0，∴$\sqrt{a}$＜x≤2；g′（x）＜0，∴0≤x＜$\sqrt{a}$
∴g（x）在[0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，2]上單調(diào)遞增
顯然g（$\sqrt{a}$）＜g（0）=0
由題意可知，g（2）≥$\frac{2}{3}$，即3a²-4a+1≤0，∴$\frac{1}{3}$≤a≤1，
當(dāng)a≥4時(shí)，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0），不合題意．
當(dāng)a≤0時(shí)，x∈[0，2]，$g（x）=\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$，不滿足y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]．
綜上，$\frac{1}{3}$≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于難題．