Question

在平面直角坐標(biāo)系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜

π

2

），f（x）=

AB

•

AC

（1）求f（x）的最小正周期；      
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及兩角差的正弦公式，化簡三角函數(shù)式，再由周期公式，即可得到；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x即可．

解答： 解：（1）f（x）=

AB

•

AC

=（-2，2）•（cos2x-2，sin2x）
=-2cos2x+4+2sin2x=4+2

2

sin（2x-

π

4

），
則f（x）的最小正周期為：

2π

2

=π；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的周期和單調(diào)性的運用，屬于基礎(chǔ)題．