Question

2．函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后所得圖象對應的函數(shù)是偶函數(shù)，且存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x）≤m成立，則m的最小值是（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求出f（x）的解析式，再根據(jù)題意求x∈[0，$\frac{π}{2}$]時f（x）的最小值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后所得圖象對應的函數(shù)
y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）為偶函數(shù)，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1；
存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式f（x）≤m成立，
∴m≥-$\frac{1}{2}$，
∴m的最小值是-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的變換問題，也考查了三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎題目．