Question

10．過(guò)點(diǎn)A（0，2）的直線l在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P滿足點(diǎn)P到直線l₁：2x+y+2=0的距離點(diǎn)P到直線l₂：x+3y+3=0的距離的$\sqrt{2}$倍，則直線l的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，$\frac{1}{2}$）
• B． （-2，2）
• C． （-2，+∞）
• D． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），m＞0，n＞0，利用點(diǎn)P到l₁、l₂的距離d₁=$\sqrt{2}$d₂，求出m=2n+1，
再計(jì)算直線l的斜率以及斜率的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），m＞0，n＞0，
則點(diǎn)P到l₁的距離為d₁=$\frac{|2m+n+2|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$，
點(diǎn)P到l₂的距離為d₂=$\frac{|m+3n+3|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$；
又d₁=$\sqrt{2}$d₂，
∴|2m+n+2|=|m+3n+3|，
即2m+n+2=m+3n+3；
化簡(jiǎn)得m=2n+1，
∴直線l的斜率為：
k=$\frac{n-2}{m-0}$=$\frac{n-2}{2n+1}$=$\frac{n+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2（2n+1）}$；
又n＞0，
∴-$\frac{5}{2}$＜-$\frac{5}{2（2n+1）}$＜0，
∴-2＜$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2（2n+1）}$＜$\frac{1}{2}$，
即直線l斜率的取值范圍是（-2，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)到直線的距離以及直線斜率的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求函數(shù)取值范圍的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．