Question

11．已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，對(duì)它的非空子集A，將A中每個(gè)元素k，都乘以（-1）^k再求和（如A={1，3，6}，可求得和為（-1）•1+（-1）³•3+（-1）⁶•6=2，則對(duì)M的所有非空子集，這些和的總和是96．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將M中所有非空子集分類考慮完備，將所有非空子集中的含有1的總個(gè)數(shù)確定好，從而可求其和，同理求得含有2、3…，6的部分的和，問題即可解決．

解答 解：∵M(jìn)={x|1≤x≤6，x∈N}={1，2，…，6}，
∴M中所有非空子集中含有1的有6類：
①單元素集合只有{1}含有1，即1出現(xiàn)了C₅⁰次；
②雙元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，6}，即1出現(xiàn)了C₅¹次；
③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，5，16}即1出現(xiàn)了C₅²次；
…
⑩含有6個(gè)元素{1，2，…}1出現(xiàn)了C₅⁵次；
∴1共出現(xiàn)C₅⁰+C₅¹+…+C₅⁵=2⁵；
同理2，3，4，…6各出現(xiàn)2⁵次，
∴M的所有非空子集中，這些和的總和是 2⁵•[（-1）¹+2×（-1）²+…+6×（-1）⁶]=2⁵×3=96．
故答案為：96．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，難點(diǎn)在于將M中所有非空子集合理分類計(jì)算，用組合數(shù)性質(zhì)解決，考查學(xué)生綜合分析與推理的能力，屬于難題．