Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）．
（1）若該函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，則該函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）
（2）若A=2，ω=2，φ=0，則該函數(shù)圖象在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上與直線y=-2圍成封閉圖形面積為π．
（3）若A=2，ω＞2，φ=$\frac{π}{3}$，且該函數(shù)圖象整體在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有4條對稱軸，則ω取值集合為6≤ω＜8．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象可得A，周期T，周期公式可求得ω，又點（$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2sin（2×$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$+φ）=-2，結合范圍0＜φ＜π，可得φ，從而可求函數(shù)解析式．
（2）由已知可得f（x）=2sin2x，數(shù)形結合，根據正弦函數(shù)的對稱性可得，函數(shù)y=2sin2x的圖象與函數(shù)y=-2的圖象圍成一個封閉圖形可轉化為以2及$\frac{π}{2}$為邊長的矩形，從而可求面積．
（3）由已知可求f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．由函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）圖象在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上僅有4條對稱軸，可得$\frac{3T}{2}≤\frac{π}{2}＜2T$，利用周期公式即可得解．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可得：A=2，又周期T=$\frac{5π}{6}$+（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=π，
由T=$π=\frac{2π}{ω}$，可解得：ω=2，
又點（$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2sin（2×$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$+φ）=-2，
解得：φ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，由0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{2π}{3}$．
可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
（2）若A=2，ω=2，φ=0，則：f（x）=2sin2x．
數(shù)形結合，如圖所示．
根據正弦函數(shù)的對稱性可得，
曲線從x=-$\frac{π}{4}$到x=0與Y軸圍成的面積與從x=0到x=$\frac{π}{4}$與Y軸圍成的面積相等，
把x軸下方的陰影部分補到x軸上方，
∴函數(shù)y=2sin2x的圖象與函數(shù)y=-2的圖象圍成一個封閉圖形可轉化為以2及$\frac{π}{2}$為邊長的矩形．
所求的面積S=2×$\frac{π}{2}$=π．

（3）若A=2，ω＞2，φ=$\frac{π}{3}$，則：f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．
∴函數(shù)周期T=$\frac{2π}{ω}$，
∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）圖象在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上僅有4條對稱軸，
∴$\frac{3T}{2}≤\frac{π}{2}＜2T$，即可得：$\frac{3}{2}×\frac{2π}{ω}≤\frac{π}{2}＜2×\frac{2π}{ω}$，解得：6≤ω＜8．
故答案為：2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），π，6≤ω＜8．

點評 本題著重考查了正弦曲線的對稱性和y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識，考查幾何圖形的面積的求法，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，屬于中檔題．