Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P，左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，左右頂點(diǎn)為D，E，過原點(diǎn)O不垂直x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₂（1，0），
①求橢圓的方程；
②連接AE，BE與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，M，則在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使TM⊥TN，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在說明理由．
（Ⅱ）若直線PF₁∥AB，且PF₁與橢圓交于點(diǎn)Q，$\frac{AB}{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求橢圓離心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
②設(shè)直線AB：y=kx，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，再由三點(diǎn)共線的知識(shí)：斜率相等，可得M，N的坐標(biāo)，設(shè)T（t，0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)AB：y=$\frac{c}$x，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，求得AB的距離，再由由PQ的方程：y=$\frac{c}$x+b，代入橢圓方程，求得Q的坐標(biāo)，求得PQ的距離，再由條件，可得a，c的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）①由題意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
②設(shè)直線AB：y=kx，代入橢圓方程可得，x=±$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=4，設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），
又E（2，0），由A，E，N共線，可得k_AE=k_NE，
即$\frac{2\sqrt{3}k}{2\sqrt{3}-2\sqrt{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{{y}_{2}}{2}$，解得y₂=$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
同理由B，E，M共線，可得y₁=$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3}+\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)T，使TM⊥TN．
設(shè)T（t，0），$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（4-t）²+y₁y₂═（4-t）²+$\frac{12{k}^{2}}{3-3-4{k}^{2}}$=0，
解得t=4±$\sqrt{3}$，
則在x軸上存在定點(diǎn)T（4±$\sqrt{3}$，0），使TM⊥TN．
（Ⅱ）若直線PF₁∥AB，即有k_AB=$\frac{c}$，
設(shè)AB：y=$\frac{c}$x，代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，可得，
x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，即有A（$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），B（-$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），
則|AB|=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$；
由PQ的方程：y=$\frac{c}$x+b，代入橢圓方程，可得x=-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
即有Q（-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$），又P（0，b），
可得|PQ|=$\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
由$\frac{AB}{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得2$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
化簡(jiǎn)可得a=2c，即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和直線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．