Question

已知圓C：x²+y²-4x-6y+12=0，點(diǎn)A（3，5）．
（1）過點(diǎn)A作圓的切線，求切線的方程；
（2）過點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為M，N，求過點(diǎn)A，M，N的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）先看點(diǎn)A的直線斜率不存在時是否符合條件，進(jìn)而看斜率存在時，設(shè)出直線的方程，利用相切的性質(zhì)求得k，確定直線的方程．
（2）根據(jù)題意推斷A，M，N，C四點(diǎn)共圓確定直徑和圓心，則圓的方程可得．

解答： 解：（1）當(dāng)過點(diǎn)A的直線斜率不存在時，直線方程為x=3滿足條件   
當(dāng)過點(diǎn)A的直線斜率存在時，設(shè)其為k，則
直線方程為：kx-y-3k+5=0，
又因?yàn)橹本�與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相切
所以

|k-2|

k2+1

=1，解之得：k=

3

4

，此時切線方程：3x-4y+11=0
故過點(diǎn)A圓C的切線方程為x=3或3x-4y+11=0．
（2）由題可知：A，M，N，C四點(diǎn)共圓
所以過點(diǎn)A，M，N的圓是以CA為直徑的圓，
又C（2，3），A（3，5），所以所求圓的方程為：(x-

5

2

)2+(y-4)2=

5

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的方程問題，直線與圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生分析和推理的能力．