Question

8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$cosC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，bcosA+acosB=2，則△ABC的外接圓的面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 9π
• D． 36π

Answer 1

分析 由余弦定理化簡已知等式可求c的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，進而利用正弦定理可求三角形的外接圓的半徑R的值，利用圓的面積公式即可計算得解．

解答 解：∵bcosA+acosB=2，
∴由余弦定理可得：b×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=2，整理解得：c=2，
又∵$cosC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{1}{3}$，
∴設(shè)三角形的外接圓的半徑為R，則2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{1}{3}}$=6，可得：R=3，
∴△ABC的外接圓的面積S=πR²=9π．
故選：C．

點評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，圓的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．