Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．，且${S_n}={n^2}-2n$．
（Ⅰ）求{a_n}通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=n•{2^{{a_n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出．
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={n^2}-2n$
∴n=1時，a₁=-1；n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-2n-{（n-1）^2}+2（n-1）=2n-3$
所以a_n=2n-3…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=n•{2^{{a_n}+1}}=n•{2^{（2n-3）+1}}=n•{4^{n-1}}$…8分
${T_n}=1×{4^0}+2×{4^1}+3×{4^2}+…+n×{4^{n-1}}$…①
$4{T_n}=1×{4^1}+2×{4^2}+3×{4^3}+…+（n-1）×{4^{n-1}}+n×{4^n}$…②
①-②得：$-3{T_n}={4^0}+{4^1}+{4^2}+…+{4^{n-1}}-n×{4^n}$=$\frac{{1-{4^n}}}{1-4}-n×{4^n}=（\frac{1}{3}-n）{4^n}-\frac{1}{3}$…11分
T_n=$\frac{{1-{4^n}}}{1-4}-n×{4^n}=\frac{3n-1}{9}•{4^n}+\frac{1}{9}$…12分．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．