Question

13．已知c＞0．設(shè)命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)；命題q：當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立．如果p∨q為真命題，（￢p）∨（￢q）也為真命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)p真時，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0＜c＜1；當(dāng)q真時，利用基本不等式的性質(zhì)可得：$x+\frac{1}{x}$≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號），可得$\frac{1}{c}$＜2．由（￢p）∨（￢q）為真命題，可得p∧q為假命題，又p∨q為真命題，可得p，q必然一真一假．

解答 解：當(dāng)p真時，0＜c＜1；
當(dāng)q真時，$x+\frac{1}{x}$≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號），
∴$\frac{1}{c}$＜2，解得c$＞\frac{1}{2}$．
∵（￢p）∨（￢q）為真命題，
∴p∧q為假命題，
又p∨q為真命題，
∴p，q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜c≤\frac{1}{2}$，或c≥1．
綜上，c的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}]$∪[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．