Question

10．已知向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（1+sinθ，1-cosθ）（O為原點，θ∈R），則向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的長度的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)、模的計算公式、數(shù)量積運算性質(zhì)可得：向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（1+sinθ-cosθ，1-cosθ-sinθ），|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{4-4cosθ}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（1+sinθ-cosθ，1-cosθ-sinθ），
|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{（1+sinθ-cosθ）^{2}+（1-cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{2（1-cosθ）^{2}+2si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{4-4cosθ}$≤$2\sqrt{2}$，
當(dāng)cosθ=-1時取等號．
∴向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的長度的最大值是2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)、模的計算公式、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．