Question

1．在△ABC中，
①A＜B?sinA＜sinB；
②若a，b，c為△ABC的三邊且a=$\sqrt{3}$，B=2A，則b的取值范圍是（$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$）；
③若O為△ABC所在平面內(nèi)異于A、B、C的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|sinC}}}$）（λ∈R），則動點(diǎn)P必過△ABC的內(nèi)心；
④△ABC的三邊構(gòu)成首項為正整數(shù)，公差為1的等差數(shù)列，且最大角是最小角的兩倍，則最小角的余弦值為$\frac{3}{4}$．
其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正弦定理進(jìn)行證明
②根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，
③作出如圖的三角形AD⊥BC，可以得出$|\overrightarrow{AB}|$sinB=$|\overrightarrow{AC}|$sinC=AD，由此對已知條件變形即可得出結(jié)論
④設(shè)△ABC中的三邊長為a，a+1，a+2最小角，最小角和最大角為θ，2θ，分別由正弦定理和余弦定理，求出cosθ，解得即可．

解答 解：①由正弦定理得在三角形中A＜B?a＜b?sinA＜sinB；故①正確，
②若a，b，c為△ABC的三邊且a=$\sqrt{3}$，B=2A，
則由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{sin2A}$=$\frac{2sinAcosA}$，
即b=2acosA=2$\sqrt{3}$cosA，
∵C=π-A-B=π-3A＞0，
∴0＜A＜$\frac{π}{3}$，即$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
則$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$cosA＜2$\sqrt{3}$，
則b的取值范圍是（$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$）；故②正確，
③作出如圖的圖形AD⊥BC，由于$|\overrightarrow{AB}|$sinB=$|\overrightarrow{AC}|$sinC=AD，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}）$=$\overrightarrow{OA}+\frac{λ}{|AD|}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
由加法法則知，P在三角形的中線上
故動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心，故③錯誤，
④設(shè)△ABC中的三邊長為a，a+1，a+2最小角，z∈N^•，
最小角和最大角為θ，2θ，
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinθ}$=$\frac{a+2}{sin2θ}$，
所以cosθ=$\frac{a+2}{2a}$，
由余弦定理得cosθ=$\frac{（a+2）^{2}+（a+1）^{2}-{a}^{2}}{2（a+2）（a+1）}$=$\frac{a+2}{2a}$，解得a=4，
所以三邊的長為4，5，6．
則則cosθ=$\frac{a+2}{2a}$=$\frac{4+2}{2×4}=\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
即最小角的余弦值為$\frac{3}{4}$．故④正確，
故答案為：①②④

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理以及平面向量的應(yīng)用，涉及的綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．