Question

15．已知在極坐標系中，直線l的方程為ρ（cosθ-sinθ）=1，圓C的方程為ρ²-4ρcosθ+3=0
（1）試判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）若直線l與圓ρ²-4ρcosθ+a=0相交所得的弦長為$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與普通方程的互化，然后通過圓心到直線的距離與半徑的關系，判斷直線與圓的位置關系．
（2）求出圓的普通方程，然后利用圓的半徑以及弦心距與半弦長的關系，求解a的值．

解答 解：（1）由ρ（cosθ-sinθ）=1得x-y-1=0------1
由ρ²-4ρcosθ+3=0得x²+y²-4x+3=0，即（x-2）²+y²=1------3
圓心到直線的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜1$，所以直線與圓相交．------5
（2）由ρ²-4ρcosθ+a=0得x²+y²-4x+a=0即（x-2）²+y²=4-a---7
∵直線l與圓ρ²-4ρcosθ+a=0相交所得的弦長為$\sqrt{2}$，
∴$4-a={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+|\frac{2-0-1}{{\sqrt{2}}}|$，
∴a=3------10

點評 本題考查極坐標與普通方程的互化，考查計算能力以及圓的位置關系．