Question

20．一袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，其中編號為3的小球有1個，已知從中一次抽取兩球，至少抽到1個編號為1的小球的概率為$\frac{4}{5}$．
（1）求編號為1的小球個數；
（2）若有放回的抽取3次，每次隨機抽取3球，求恰有2次抽到編號為3的小球的概率；
（3）從袋中隨機抽取3個小球，記球的最大編號為X，求隨機變量X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （1）利用至少抽到1個編號為1的小球的概率為$\frac{4}{5}$，建立方程，即可求編號為1的小球個數；
（2）確定一次從袋中隨機抽取3個球，抽到編號為3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到編號為3的小球的概率；
（3）確定隨機變量X所有可能的取值，求出相應的概率，即可求出隨機變量X的分布列與數學期望．

解答 解：（1）設編號為1的小球個數為n（n∈N₊，n≤4），
∵至少抽到1個編號為1的小球的概率為$\frac{4}{5}$，
∴1-$\frac{{C}_{6-n}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴n=3或8（舍去），
∴編號為1的小球個數為3；
（2）一次從袋中隨機抽取3個球，抽到編號為3的小球的概率為P=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到編號為3的小球的概率為${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$；
（3）隨機變量X所有可能的取值為1，2，3，則
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$；P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{10}{20}$
∴隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{10}{20}$

∴E（X）=1×$\frac{1}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{10}{20}$=$\frac{49}{20}$．

點評 本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．