Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓

x2

2

+y2=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點P，且AF₁=BF₂+

2 2

3

，則直線AF₁的斜率是（　　）

• A、

  3

• B、

  2

• C、

  2

  2

• D、1

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AF₁，BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（y₁＞0，y₂＞0）．聯(lián)立

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x1+1=my1

，化為(m2+2)

y

2 1

-2my1-1=0，可得A的坐標，即可得出|AF₁|，同理可得|BF₂|．即可得出．

解答： 解：由橢圓

x2

2

+y2=1可得c=1，∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設直線AF₁，BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（y₁＞0，y₂＞0）．
聯(lián)立

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x1+1=my1

，化為(m2+2)

y

2 1

-2my1-1=0，
解得y1=

m+ 2m2+2

m2+2

．
∴|AF₁|=

m2+1

|y1|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

．
同理可得|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

．
∴|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+1

=

2 2

3

，
解得m=1．
故選：D．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．