Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ （a∈R）是定義域為R的奇函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=e2x+ ﹣2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 在定義域R上是奇函數(shù)，

所以

即 恒成立，

所以a=﹣1，此時

（2）解：因為f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0

所以f（x2+x）＜﹣f（2﹣tx）

又因為 在定義域R上是奇函數(shù)，

所以f（x2+x）＜f（tx﹣2）

又因為 恒成立

所以 在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)

所以存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立

等價于存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，

所以存在x∈（0，+∞），使（t﹣1）x＞x2+2，即

又因為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號

所以 ，即 ，

注：也可令g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2

①對稱軸 時，即t≤1g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2在x∈（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)的．

由g（0）=2＞0不符合題意

②對稱軸 時，即t＞1

此時只需△=（t﹣1）2﹣8≥0得 或者

所以

綜上所述：實數(shù)t的取值范圍為

（3）解：函數(shù)

令

則 在x∈（m，+∞）不存在最值等價于函數(shù)y=t2﹣2mt+2，

在 上不存在最值，

由函數(shù)y=t2﹣2mt+2，的對稱軸為t0=m得： 成立，

令

由

所以 在m∈R上是單調(diào)增函數(shù)．

又因為g（0）=0，

所以實數(shù)m的取值范圍為m＞0

【解析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得以 ，解可得a的值；（2）由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（x2+x）＜f（tx﹣2），對f（x）求導(dǎo)分析可得f（x）為增函數(shù)，進(jìn)而分析可以將不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0轉(zhuǎn)化為存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．（3）根據(jù)題意，計算可得y=e2x+ ﹣2mf（x）的解析式，用換元法分析可得y=t2﹣2mt+2，在 上不存在最值，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�