Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，直線y=kx在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（-∞，1]．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通過(guò)討論k的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出k的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$]，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，∴1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，
當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當(dāng)k≥${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）≤0⇒g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0，與題意不合；            
當(dāng)1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而g′（0）=1-k＜0，g′（ $\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0
由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)x₀，使得g′（x₀）=0，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g′（x）≤0，從而g（x）在x∈[0，x₀）上單調(diào)遞減，
從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．