Question

1．已知f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，e²]上有最小值2，求a的值（e≈2.718）；
（2）在（1）的條件下，?x₁x₂∈[1，e²]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜e^t-2，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，即可求a的值；
（2）對?x₁，x₂∈[1，e²]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜e^t-2等價于|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{e}$＜e^t-2，即可求出t的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得f（x）得的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①a≥0，f（x）在區(qū)間[1，e²]上單調(diào)遞增，
∴f（1）=-a=2，a=-2，舍去
②a＜0，當(dāng)x∈（0，-a）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增；
0＜-a≤1時，f（x）在[1，e²]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-a=2，a=-2（舍），
當(dāng)1＜-a＜e²時，f（x）在（1，-a）遞減，在（-a，e²）遞增，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，解得：a=-e，
當(dāng)a≥e²時，f（x）在[1，e²]遞減
∴f（x）_min=f（e²）=2-$\frac{a}{{e}^{2}}$=2，無解，
綜上：a=-e；
（2）若對于任意的x₁，x₂∈[1，e²]時，
由（1）知，f（x）在（1，e）遞減，在（e，e²）遞增，
∴f（x）的最小值為f（e）=2，
∵f（1）=e，f（e²）=2+$\frac{1}{e}$，
∴f（e²）=2+$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）的最大值，
∵對?x₁，x₂∈[1，e²]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜e^t-2，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{e}$＜e^t-2，
∴t＞ln（2+$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值．