Question

17．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，短軸長為4，過點P（0，3）引直線l順次與橢圓交于點A、B（A在B、P之間）．
（I）求橢圓方程；
（Ⅱ）O為坐標原點，求三角形AOB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a，b即可；
（II）設直線l方程y=kx+3，與橢圓方程聯(lián)立，求出k的取值范圍和A，B坐標的關(guān)系，根據(jù)弦長公式計算|AB|，求出O到l的距離d，得出三角形的面積關(guān)于k的函數(shù)，利用換元法得出面積的最值．

解答 解：（I）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{2b=4}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）設直線l的方程為y=kx+3，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消元得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
△=54²k²-180（4+9k²）＞0，
解得k²＞$\frac{5}{9}$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{54k}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{45}{4+9{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12\sqrt{9{k}^{2}-5}}{4+9{k}^{2}}$．
又O到直線l的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{18\sqrt{9{k}^{2}-5}}{4+9{k}^{2}}$．
令$\sqrt{9{k}^{2}-5}$=t，則t＞0，9k²=t²+5，
∴S_△AOB=$\frac{18t}{{t}^{2}+9}$=$\frac{18}{t+\frac{9}{t}}$≤$\frac{18}{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}}$=3．當且僅當t=$\frac{9}{t}$，即t=3時取等號．
∴三角形AOB的面積的取值范圍是（0，3]．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．