Question

1．已知$x+\frac{1}{x}=-1（{x∈C}）$，則${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$的值為-1．

Answer 1

分析 先求出方程x+$\frac{1}{x}$=-1的根，結合復數(shù)的基本運算法則進行求解即可．

解答 解：由$x+\frac{1}{x}=-1（{x∈C}）$，得到x²+x+1=0，設方程的一個根為a+bi（a，b是實數(shù)）則另一個根為a-bi，所以$\left\{\begin{array}{l}{2a=-1}\\{{a}^{2}+^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=±\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，所以x=$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
若x=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，則x²=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x³=1，則x²⁰¹⁵=x^671×3+2=x²=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
則${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+$\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+（$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=-1，
若x=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，則x²=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x³=1，則x²⁰¹⁵=x²=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
則${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+$\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+（$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=-1，
綜上恒有則${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=-1，
故答案為：-1

點評 本題主要考查復數(shù)的基本運算，考查學生的運算能力．