Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，根據(jù)f（x）_min≥0，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，a≤2，
①a≤0時，ax-1＜0，
令f′（x）＞0，即2x-1＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減；
②0＜a＜2時，x=$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
③a=2時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）①a≤0時，f（x）在[1，2]遞減，
f（x）_min=f（2）=2a-2+ln2≥0，解得：a≥1-2ln2，
故1-2ln2≤a≤0；
②0＜a≤$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{a}$≥2，f（x）在[1，2]遞減
f（x）_min=f（2）=2a-2+ln2≥0，解得：a≥1-$\frac{1}{2}$ln2＞$\frac{1}{2}$，
無解；
③$\frac{1}{2}$＜a＜1時，1＜$\frac{1}{a}$＜2，
故f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，2]遞增，
故f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$-lna≥0，
令g（a）=1-$\frac{1}{a}$-lna，a∈（$\frac{1}{2}$，1），
g′（a）=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1-a}{{a}^{2}}$＞0，
故g（a）在（$\frac{1}{2}$，1）遞增，
g（a）＜g（1）=0，
故1＜$\frac{1}{a}$＜2時，不合題意；
④a≥1時，$\frac{1}{a}$≤1，
故f（x）在[1，2]遞增，f（x）_min=f（1）=0，
故a≥1，
綜上，1-2ln2≤a≤0或a≥1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．