Question

20．已知數列{a_n}滿足a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N*．
（1）若p=1，寫出a₄所有可能的值；
（2）若數列{a_n}是遞增數列，且a₁，2a₂，3a₃成等差數列，求p的值；
（3）若p=$\frac{1}{2}$，且{a_2n-1}是遞增數列，{a_2n}是遞減數列，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N*．分別取n=1，2，3即可得出．
（2）因為數列{a_n}是遞增數列，所以${a_{n+1}}-{a_n}=|{{a_{n+1}}-{a_n}}|={p^n}$．可得${a_2}=p+1，{a_3}={p^2}+p+1$，根據a₁，2a₂，3a₃成等差數列，可得4a₂=a₁+3a₃，解出即可得出．
（3）因為{a_2n-1}是遞增數列，所以a_2n+1-a_2n-1＞0，可得（a_2n+1-a_2n）+（a_2n-a_2n-1）＞0，但$\frac{1}{{{2^{2n}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n-1}}}}$，可得|a_2n+1-a_2n|＜|a_2n-a_2n-1|．可得${a_{2n}}-{a_{2n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}=\frac{{{{（{-1}）}^{2n}}}}{{{2^{2n-1}}}}$．因為{a_2n}是遞減數列，同理可得a_2n+1-a_2n＜0，進而得到，${a_{n+1}}-{a_n}═\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{2^n}$．

解答 解：（1）由a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N*．
a₄有可能的值為-2，0，2，4…（4分）
（2）因為數列{a_n}是遞增數列，所以${a_{n+1}}-{a_n}=|{{a_{n+1}}-{a_n}}|={p^n}$．
而a₁=1，所以${a_2}=p+1，{a_3}={p^2}+p+1$…（6分）
又a₁，2a₂，3a₃成等差數列，所以4a₂=a₁+3a₃…（8分）
所以3p²-p=0．解得$p=\frac{1}{3}$或p=0
當p=0時，a_n+1=a_n，這與{a_n}是遞增數列矛盾，所以$p=\frac{1}{3}$…（10分）
（3）因為{a_2n-1}是遞增數列，所以a_2n+1-a_2n-1＞0，
所以（a_2n+1-a_2n）+（a_2n-a_2n-1）＞0①
但$\frac{1}{{{2^{2n}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n-1}}}}$，所以|a_2n+1-a_2n|＜|a_2n-a_2n-1|②
由①，②知，a_2n-a_2n-1＞0，所以${a_{2n}}-{a_{2n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}=\frac{{{{（{-1}）}^{2n}}}}{{{2^{2n-1}}}}$③…（13分）
因為{a_2n}是遞減數列，同理可得a_2n+1-a_2n＜0
所以${a_{2n+1}}-{a_{2n}}=-{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}=\frac{{{{（{-1}）}^{2n+1}}}}{{{2^{2n}}}}$④
由③，④知，${a_{n+1}}-{a_n}═\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{2^n}$…（16分）
所以a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+…+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{2^n}=1+\frac{1}{2}\frac{{1-\frac{{{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2^n}}}{{1+\frac{1}{2}}}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}•\frac{{{{（{-1}）}^n}}}{{{2^{n-1}}}}$
所以數列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}•\frac{{{{（{-1}）}^n}}}{{{2^{n-1}}}}$…（18分）

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、絕對值的性質、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．