Question

17．已知曲線f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx在點（1，f（1））處的切線方程為y=-x+$\frac{1}{e}$+b-1，則下列命題是真命題的個數(shù)為（　�。�
①?x∈（0，+∞），f（x）＜$\frac{e}$；   
②?x₀∈（0，e），f（x₀）=0；   
③?x∈（0，+∞），f（x）＞$\frac{4e}$；   
④?x₀∈（1，e），f（x₀）=$\frac{1}{2e}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出a，b的值，分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{x}{e^x}$，h（x）=xlnx，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，即可判斷①③，根據(jù)函數(shù)零點定理即可判斷②④

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-a（1+lnx），
∵曲線f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx在點（1，f（1））處的切線方程為y=-x+$\frac{1}{e}$+b-1，
∴f′（1）=0-a=-1，
∴a=1，
∴f（1）=$\frac{1}{e}$，
∴切線方程為y=-x+1+$\frac{1}{e}$
∴b=2，
∴f（x）=$\frac{x}{e^x}$-xlnx，
令g（x）=$\frac{x}{e^x}$，
∴g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當x＞1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=0，
令h（x）=xlnx，
∴h′（x）=1+lnx，
當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，h′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
當x＞$\frac{1}{e}$時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{x}{e^x}$＜xlnx+$\frac{2}{e}$，故①正確，
∵f（e）=$\frac{e}{{e}^{e}}$-e＜0，f（1）=$\frac{1}{e}$＞0，
∴f（e）f（1）＜0，
∴?x₀∈（0，e），f（x₀）=0，故②正確，
∵f（e）=$\frac{e}{{e}^{e}}$-e＜0，
∴③錯誤，
∵f（e）f（1）＜0，
∴?x₀∈（1，e），f（x₀）=$\frac{1}{2e}$，故④正確，
故真命題的個數(shù)為3個，
故選：C

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義和導數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系和函數(shù)零點定理，屬于中檔題．