Question

5．已知函數y=$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$+lg（3-4x+x²）的定義域為M．
（1）求M；
（2）當x∈M時，求f（x）=4^x+2^x+2的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據二次根式以及對數函數的性質得到關于x的不等式組，解出即可；（2）通過換元結合二次函數的性質求出f（x）的最小值即可．

解答 解（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+x}{1-x}≥0\\ 3-4x+{x^2}＞0\end{array}\right.$，
解得：-1≤x＜1，
∴M=[-1，1）；
（2）f（x）=（2^x）²+4•2^x+4-4=（2^x+2）²-4，
令$t={2^x}∈[\frac{1}{2}，2）$，
∴$g（t）={t^2}+4t={（t+2）^2}-4，t∈[\frac{1}{2}，2）$，
∴$f{（x）_{min}}=g{（t）_{min}}=g\frac{1}{2}=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了求函數的定義域問題，考查指數函數以及二次函數的性質，是一道中檔題．