Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，且在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，在[

π

2

，π]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、10
• C、20
• D、40

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：把函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-sinx=0在[-10π，10π]上的根的個數(shù)問題，進一步轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=f（x）和y=sinx的交點個數(shù)問題，由題目給出的函數(shù)y=f（x）的性質(zhì)作出其大致圖象，作出正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答： 解：由函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，得：
函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，
又由當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，
且在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，在[

π

2

，π]上單調(diào)遞增，
可作出函數(shù)f（x）圖象的大致形狀，
求函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點個數(shù)，就是求方程f（x）-sinx=0的根的個數(shù)，
即求函數(shù)y=f（x）的圖象與y=sinx圖象交點的個數(shù)，如圖，

函數(shù)y=f（x）的圖象與y=sinx的圖象交于x軸上方，
以正弦函數(shù)[-π，π]為一個周期，也正是函數(shù)y=f（x）的一個周期，在每個周期內(nèi)兩個函數(shù)圖象有兩個交點，
區(qū)間[-10π，10π]占10個周期長度，
因此在[-10π，10π]上總的交點個數(shù)為20個，
所以，函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點個數(shù)為20．
故選：C

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，分析函數(shù)零點個數(shù)時，有時需要把一個函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．是基礎題．