Question

（Ⅰ）已知：a，b，c，d∈R，請用向量方法證明：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），并寫出等號成立的條件；
（Ⅱ）當(dāng)y=2cos x-3sin x取得最大值時，求tan x的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）構(gòu)造向量

m

=（a，b），

n

=（c，d），利用數(shù)量積的性質(zhì)|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，即可證出結(jié)論；
（Ⅱ）方法一：由（I）結(jié)論得出，（2cosx+（-3）sinx）²≤（2²+（-3）²）•（cos²x+sin²x）=13，求出“=”成立時的條件即可；
方法二：由三角函數(shù)的恒等變換得y=

13

sin（φ-x），（其中tanφ=

2

3

），求出函數(shù)取最大值時tan x的值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設(shè)

m

=（a，b），

n

=（c，d），
∴|

m

•

n

|=||

m

|•|

n

|•cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，
∴|

m

•

n

|2≤|

m

|2•|

n

|2，
即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）；
當(dāng)且僅當(dāng)

m

∥

n

，即ad=bc時，“=”成立；
（Ⅱ）方法一：由（I）知，
（2cosx+（-3）sinx）²≤（2²+（-3）²）•（cos²x+sin²x）=13；
當(dāng)且僅當(dāng)2sinx=（-3）cosx，即tanx=-

3

2

時，
|2cosx-3sinx|_max=

13

；
∴當(dāng)cosx＞0＞sinx時，
|2cosx-3sinx|_max=（2cosx-3sinx）_max=

13

．
方法二：y=2cosx-3sinx
=

13

（

2

13

cosx-

3

13

sinx）
=

13

sin（φ-x），（其中tanφ=

2

3

）；
當(dāng)sin（φ-x）=1，即φ-x=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=φ-2kπ-

π

2

時，y_max=

13

；
此時tanx=tan（φ-2kπ-

π

2

）
=-tan（

π

2

-φ）
=-

sin( π 2 -φ)

cos( π 2 -φ)

=-

cosφ

sinφ

=-

1

tanφ

=-

3

2

．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及恒等變換問題，考查了不等式的證明問題，是綜合題．