Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項和T_n＜5．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n，由于b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，可得$_{3}^{2}$=b₁b₁₁，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
又a₁=2²-2=2，也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ．
b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，
∵b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，
∴$_{3}^{2}$=b₁b₁₁，
∴（2+2d）²=2（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=3n-1．
（2）證明：c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{8}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-4}{{2}^{n}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{n}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$=2+$\frac{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．