Question

19．已知以原點O為中心的橢圓C上一點到兩焦點F1（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)2（$\sqrt{7}$，0）的距離之和為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P、Q是橢圓C上兩點，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求點O到弦PQ的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），從而可得2a=8，c=$\sqrt{7}$，從而解橢圓的方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；則由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，分點P、Q在坐標(biāo)軸上與點P、Q不在坐標(biāo)軸上討論，從而分別求點O到弦PQ的距離，從而解得．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
依題意，2a=8，c=$\sqrt{7}$，
故b²=16-7=9；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
則由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
①當(dāng)點P、Q在坐標(biāo)軸上時，不妨設(shè)點P在x軸上，
點Q在y軸上，過O作OH⊥PQ于點H，
可得|OH|=$\frac{12}{5}$；
②當(dāng)點P、Q不在坐標(biāo)軸上時，
設(shè)直線OP的方程為y=kx，則直線OQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x；
將y=kx代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1得，
${x}_{1}^{2}$=$\frac{144}{16{k}^{2}+9}$，
∴|OP|²=${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=$\frac{144（{k}^{2}+1）}{16{k}^{2}+9}$，
同理可得，|OQ|²=$\frac{144（{k}^{2}+1）}{9{k}^{2}+16}$；
又在Rt△POQ中作OH⊥PQ于點H，
于是由|OH|•|PQ|=|OP|•|OQ|得，
|OH|²=$\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|PQ{|}^{2}}$
=$\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}$
=$\frac{144}{25}$；
故|OH|=$\frac{12}{5}$；
綜上所述，所求橢圓中心O到弦PQ的距離為$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的方程的求法及橢圓與直線的位置關(guān)系及應(yīng)用，屬于中檔題．