Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（c-2a）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$
（1）求B的大�。�
（2）已知f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1，若對任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積定義和三角恒等變換化簡即可求出cosB，得出B的值；
（2）化簡f（x）的解析式，根據(jù)f（B）為f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式解出．

解答 解：（1）∵（c-2a）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$，即（c-2a）accos（π-B）=abccosC，
∴2accosB=bcosC+ccosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ），
∵對任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（$\frac{π}{3}$），
∴sin（$\frac{2π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．