Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x}$．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）設(shè)G（x）=xf（x）-lnx-2x，證明$G（x）＞-ln2-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，以及f（2），運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程；
（2）求出G（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，判斷G′（x）的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可得存在唯一x₀∈（1，2），使$G'（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}-2=0$，即${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}+2$，構(gòu)造$H（x）=\frac{1}{x}+2-lnx-2x$，（1＜x＜2），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，$f'（2）=\frac{{2{e^2}-{e^2}}}{2^2}=\frac{e^2}{4}$且$f（2）=\frac{e^2}{2}$，
所以切線方程$y-\frac{e^2}{2}=\frac{e^2}{4}（x-2）$，即$y=\frac{e^2}{4}x$．
（2）證明：由G（x）=xf（x）-lnx-2x（x＞0），
$G'（x）={e^x}-\frac{1}{x}-2$．$G''（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以G'（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
又因?yàn)镚'（1）=e-3＜0，$G'（2）={e^2}-\frac{5}{2}＞0$，
所以存在唯一x₀∈（1，2），使$G'（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}-2=0$，
即${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}+2$，且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，G'（x）＜0，G（x）為減函數(shù)，
x∈（x₀，+∞）時(shí)G'（x）＞0，G（x）為增函數(shù)，
所以$G{（x）_{min}}=G（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2{x_0}=\frac{1}{x_0}+2-ln{x_0}-2{x_0}$，x₀∈（1，2），
記$H（x）=\frac{1}{x}+2-lnx-2x$，（1＜x＜2），$H'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-2＜0$，
所以H（x）在（1，2）上為減函數(shù)，
所以$H（x）＞H（2）=\frac{1}{2}+2-ln2-4=-\frac{3}{2}-ln2$，
所以$G（x）≥G（{x_0}）＞-\frac{3}{2}-ln2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．