Question

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0），y=f（x）的周期為π，其圖象最高點(diǎn)（

5π

8

，1）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象；
（3）方程f（x）=a在[

3π

8

，

7π

8

]上有兩個相異的根x₁、x₂，求x₁+x₂的值．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象即可求y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)“五點(diǎn)法”即可畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；
（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵y=f（x）的周期為π，
∴T=

2π

ω

=π，
則ω=2，
又函數(shù)圖象最高點(diǎn)（

5π

8

，1）．
∴f（

5π

8

）=1，
即sin（

5π

8

+φ）=1．
∵-π＜φ＜0，
∴

5π

8

+φ∈（

π

4

，

5π

4

），
即

5π

8

+φ=

π

2

，
解得φ=-

3π

4

，
則y=f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-

3π

4

）．
（2）由f（x）=sin（2x-

3π

4

）得

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	- 2 2	-1	0	1	0	- 2 2

故函數(shù)的圖象如右圖：
（3）若f（x）=a在[

3π

8

，

7π

8

]上有兩個相異的根x₁、x₂，
則兩個相異的根x₁、x₂，關(guān)于x=

5π

8

對稱，
即x₁+x₂=

5π

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象，單調(diào)性，最值性質(zhì)的求解和應(yīng)用．