【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=kx(k∈R).
(1)證明:當(dāng)x>0時,f(x)<x;
(2)證明:當(dāng)k<1時,存在x0>0,使得對任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).

【答案】
(1)解:令F(x)=f(x)﹣x=ln(1+x)﹣x,x∈(0,+∞),

則有F′(x)= ﹣1=﹣

當(dāng)x∈(0,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

故當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)<F(0)=0,即當(dāng)x>0時,f(x)<x


(2)解:令G(x)=f(x)﹣g(x)=ln(1+x)﹣kx,x∈(0,+∞),

則有G′(x)= ﹣k=

當(dāng)k≤0時G′(x)>0,所以G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

G(x)>G(0)=0,故對任意正實數(shù)x0均滿足題意.

當(dāng)0<k<1時,令G′(x)=0,得x= = ﹣1>0.

取x0= ﹣1,對任意x∈(0,x0),恒有G′(x)>0,

從而G(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x)


【解析】(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)﹣x=ln(1+x)﹣x,x∈(0,+∞),利用函數(shù)F(x)的單調(diào)性,只需求出F(x)值域即可;(2)構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)﹣g(x)=ln(1+x)﹣kx,x∈(0,+∞),利用其單調(diào)性,討論其值域情況即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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【題目】觀察研究某種植物的生長速度與溫度的關(guān)系,經(jīng)過統(tǒng)計,得到生長速度(單位:毫米/月)與月平均氣溫的對比表如下:

溫度

-5

0

6

8

12

15

20

生長速度

2

4

5

6

7

8

10

(1)求生長速度關(guān)于溫度的線性回歸方程;(斜率和截距均保留為三位有效數(shù)字);

(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析氣溫從時生長速度的變化情況,如果某月的平均氣溫是時,預(yù)測這月大約能生長多少.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

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(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;

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C.[﹣1,1]
D.(﹣1,1]

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B.
C.2
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